Consejos útiles

Ecuación diferencial

Ahora que ha aprendido cómo encontrar derivadas e integrales, es hora de pasar a un tema más complejo: resolver ecuaciones diferenciales (son diffurs, diffurs y diff.ura :)), es decir, ecuaciones que junto con la función misma (y / o argumento) contener una derivada o incluso varias.

Que tan resolver ecuaciones diferenciales? Lo principal que se necesita es a) la capacidad de determinar correctamente el tipo de ecuación diferencial yb) la capacidad de integrarse bien es una parte esencial del trabajo.

En esta sección encontrará los problemas resueltos de compilar y resolver ecuaciones diferenciales. Los ejemplos de soluciones de diferencias se presentan de forma gratuita para su conveniencia y se clasifican por temas: estudie, busque otros similares, resuelva los suyos. Si necesita ayuda para completar las tareas, vaya a la sección: pruebas de ecuación diferencial

Soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Tarea 3. Encuentre una solución general para una ecuación diferencial lineal de primer orden $ xy '+ x ^ 2 + xy-y = 0. $

Tarea 4. Resuelva la ecuación diferencial homogénea $ y '= - y / x quad (x ne 0). $

Tarea 5. Resuelva la ecuación diferencial $ (y ^ 4-2x ^ 3y) dx + (x ^ 4-2xy ^ 3) dy = 0. $

Tarea 6. Resolver la ecuación diferencial homogénea $ (2x + y + 1) dx + (x + 2y-1) dy = 0. $

Tarea 7. Resuelva la ecuación diferencial lineal de primer orden $ y'-2xy = 3x ^ 2-2x ^ 4. $

Tarea 8. Resuelva la ecuación diferencial $ (x + y ^ 2) y '= y-1. $

Solución del problema de Cauchy para control remoto

Tarea 9. Resuelva la ecuación diferencial con variables separables $ (1 + x ^ 2) dy-2xydx = 0. $ Encuentre una solución particular que satisfaga la condición inicial $ y (0) = 1 $.

Tarea 10. Resuelva el problema de Cauchy para la ecuación diferencial de segundo orden $ 2y y '' +1 = (y ') ^ 2, , y (1/3) = 1, , y' (1/3) = 2 $.

Tarea 11. Encuentre la solución al problema de Cauchy para la ecuación diferencial $$ y '= frac <2y-x> <2x + y>, y (1) = 1. $$

Tarea 12. Resuelva el problema de Cauchy para una ecuación diferencial de tercer orden $$ y '' '= x + cos x, quad y (0) = 0, y' (0) = 0, y '' (0) = 0. $$

Soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Tarea 13. Resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes $ y '' + 4y '+ 4y = xe ^ <2x>. $

Tarea 14. Resuelva el problema de Cauchy para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes mediante el método de variación: $$ y '' - 3y '= frac <9e ^ <-3x>> <3 + e ^ <-3x>>, quad y (0) = 4 ln 4, y '(0) = 3 (3 ln 4-1). $$

Resolviendo problemas de ecuaciones diferenciales

Tarea 15. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo calentado es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio ambiente. En 10 minutos, el cuerpo se enfrió de 100 a 60 grados. La temperatura del medio es constante e igual a 20 grados. ¿Cuándo se enfriará el cuerpo a 25 grados?

Tarea 16. El bote a motor se mueve en aguas tranquilas a una velocidad de 5 m / s. A toda velocidad, su motor se apaga y después de 40 segundos después de eso, la velocidad del bote disminuye a 2 m / s. Determine la velocidad de la embarcación 2 minutos después de que el motor se detenga, suponiendo que la resistencia al agua sea proporcional a la velocidad de la embarcación.

Contenido

Orden de ecuación diferencial - el orden más alto de derivados incluidos en él.

Si la ecuación diferencial es un polinomio con respecto a la derivada más alta, entonces el grado de este polinomio se llama grado de ecuación diferencial. Entonces, por ejemplo, la ecuación (y ″) 4 + y ′ + y 6 + x 7 = 0 < displaystyle (y '') ^ <4> + y '+ y ^ <6> + x ^ <7> = 0 > es una ecuación de segundo orden, cuarto grado.

Todas las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en ordinario (ODE), que incluye solo funciones (y sus derivados) de un argumento, y ecuaciones diferenciales parciales (URCHP), en el que las funciones de entrada dependen de muchas variables. También hay ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE), que incluyen procesos aleatorios.

Dependiendo de las combinaciones de derivadas, funciones, variables independientes, las ecuaciones diferenciales se dividen en lineales y no lineales, con coeficientes constantes o variables, homogéneos o no homogéneos. Debido a la importancia de las aplicaciones, las ecuaciones diferenciales parciales cuasilineales (lineales con respecto a las derivadas más altas) se distinguen en una clase separada.

La cuestión más importante para las ecuaciones diferenciales es la existencia y la unicidad de su solución. La solución a esta pregunta viene dada por los teoremas de existencia y unicidad que indican las condiciones necesarias y suficientes para esto. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias, tales condiciones fueron formuladas por Lipschitz (1864). Para ecuaciones diferenciales parciales, el teorema correspondiente fue probado por S.V. Kovalevskaya (1874).

Las soluciones de ecuaciones diferenciales se dividen en soluciones generales y particulares. Las soluciones generales incluyen constantes indefinidas, y para ecuaciones diferenciales parciales, funciones arbitrarias de variables independientes, que pueden refinarse a partir de condiciones de integración adicionales (condiciones iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias, condiciones iniciales y límite para ecuaciones diferenciales parciales). Después de determinar el tipo de estas funciones constantes e indefinidas, las soluciones se vuelven privadas.

La búsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias condujo al establecimiento de una clase de funciones especiales, funciones que a menudo se encuentran en aplicaciones que no se expresan en términos de funciones elementales conocidas. Sus propiedades se estudiaron en detalle, se compilaron tablas de significados, se determinaron las relaciones mutuas, etc.

El desarrollo de la teoría de las ecuaciones diferenciales permitió en algunos casos abandonar el requisito de continuidad de las funciones en estudio e introducir soluciones generalizadas de ecuaciones diferenciales.