Consejos útiles

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.

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Progresión aritmética ¿Es la secuencia numérica un1un2,. unn,. para lo cual para cada entero positivo n la igualdad es válida:

donde d es la diferencia de progresión aritmética.

Ejemplo: una secuencia de números 3, 7, 11, 15, 19. es una progresión aritmética con una diferencia de d = 4.

Progresión aritmética hay tres tipos:

  1. Creciente - Progresión aritméticacuya diferencia es positiva Ejemplo: una secuencia de números 2, 5, 8, 11, 14 ,. es una progresión aritmética creciente, ya que su diferencia d = 3.
  2. Menguante- progresión aritméticacuya diferencia es negativa Ejemplo: una secuencia de números 100, 98, 96, 94, 92 ,. es una progresión aritmética decreciente, ya que su diferencia es d = –2.
  3. Estacionaria- progresión aritméticacuya diferencia es cero Ejemplo: una secuencia de números 23, 23, 23, 23, 23 ,. es una progresión aritmética estacionaria, ya que su diferencia d = 0.

Miembros de progresión aritmética

La fórmula general para calcular el enésimo término de una progresión aritmética a partir del primer término y la diferencia:

El siguiente término en progresión aritmética se puede encontrar por el término anterior y la diferencia:

El término anterior en progresión aritmética se puede encontrar mediante el siguiente término y diferencia:

Además, se puede encontrar un miembro de progresión aritmética si se conocen los siguientes miembros y los anteriores:

Resolución de problemas de progresión aritmética

Consideremos algunos problemas típicos dedicados a la progresión aritmética.

Probar que la secuencia dada por la fórmula an = 5 + 4n, es aritmética.

Para demostrar que la secuencia es aritmética, es suficiente obtener el siguiente término en esta secuencia y encontrar la diferencia.

unn + 1 = 5 + 4 (n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

d = an + 1 - unn = 9 + 4n - (5 + 4n) = 9 + 4n - 5 - 4n = 4

Como la diferencia es un número, significa que será el mismo para todos los miembros de esta secuencia. Por lo tanto, la secuencia es una progresión aritmética.

Encuentre la progresión aritmética de 20 términos y la suma de los primeros diez si1 = -18 yd = 5

un20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77

S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

El número 85 es miembro de la progresión aritmética 8, 15, 22, 29 ,. . Encuentra el número de este miembro.

Deje n ser el número para encontrar.

Aplicando la fórmula para calcular el enésimo término de una progresión aritmética, podemos obtener n

En progresión aritmética un8 = 22 y a14 = 34. Encuentra la fórmula para el enésimo término.

Aplicando la fórmula para calcular el enésimo término de una progresión aritmética a partir del primer término y la diferencia, encontramos:

Sustituyendo a en estas expresiones a8 y un14 obtenemos el sistema de ecuaciones:

Restando el segundo de la primera ecuación, podemos calcular d:

Sustituya d en la primera ecuación para obtener un1:

Por lo tanto, la fórmula para el enésimo término de progresión aritmética se ve así:

unn = 8 + 2 ⋅ (n - 1) = 8 + 2n - 2 = 6 + 2n

Encuentre el número de miembros de la progresión aritmética 1, 3, 5, 7 ,. si su suma es 81.

De una progresión aritmética dada, obtenemos un1 yd:

Y sustituimos los datos conocidos en la fórmula de suma:

La suma de los n primeros miembros de la progresión aritmética.

La suma de los primeros miembros de la progresión aritmética. se puede encontrar por las fórmulas

1)

2) ,

donde es el primer miembro de la progresión, es el miembro con el número, es el número de miembros sumados.

(La segunda fórmula es el resultado de sustituir la fórmula en la primera fórmula).

Ejemplo 1

La progresión aritmética viene dada por la fórmula.

Encuentra la suma de los primeros diez miembros de la progresión.

Para usar la fórmula, necesitamos encontrar y:

Entonces

Ejemplo 2

Encuentre la suma de los números pares naturales que no excedan de 40.

Ante nosotros está la progresión aritmética: 2, 4, 6, ... 38, 40.

Usamos la fórmula:

Ejemplo 3

¿Cuántos números naturales consecutivos, comenzando desde 1, deben sumarse para que su suma sea igual a 153?

El paso () es 1,

Pasamos a la fórmula:

Como trabajamos con natural, entonces

Ejemplo 4

La progresión aritmética viene dada por la fórmula.

Encuentre la suma de los miembros de esta progresión del 5 al 16 inclusive.

Encuentre los dos primeros términos de la progresión y la diferencia de la progresión:

La secuencia de números de una progresión aritmética, comenzando desde el 5 (por 16), también es una progresión aritmética.

Por lo tanto, denote, etc., consideraremos la suma de los doce primeros miembros de la progresión aritmética <> de acuerdo con la fórmula:

donde

Ejemplo 5

Encuentre la suma de enteros de dos dígitos, no múltiplos de 4.

Números de dos dígitos: 10, 11, 12, 13, ... 97, 98, 99.

Si tacha los números que son múltiplos de 4,

entonces los números restantes no formarán una progresión aritmética por sí mismos, lo que significa que no podemos calcular su suma de acuerdo con las fórmulas anteriores.

Haremos esto:

1) calcular la suma de todos los números de dos dígitos,

2) calcule la suma de todos los números de dos dígitos que son múltiplos de 4, es decir, 12 + 16 + ... + 96,

3) restar la cantidad de la cantidad

Entonces

¿Cómo averiguar el número de números de dos dígitos que son múltiplos de 4?

Denote el número de serie de 96 en la fila 12, 16, ... 96 por. La serie misma, por supuesto, forma una progresión aritmética ().

Lo encontraremos.

Entonces

Entonces

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